Experimentos aleatórios são aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com clareza, como, por exemplo, quando se lança uma moeda e observar-se a face de cima. O conjunto de todos resultados possíveis de um experimento aleatório, $\textcolor{red}{}\mathrm{\Omega }$, é chamado de espaço amostral. Usamos as tratativas “experimento aleatório” e “espaço amostral”, pois a Análise Combinatória é aplicada em Probabilidade.

Chamamos de conjunto objeto (CO) ao conjunto que associa letras e/ou números aos objetos usados no experimento aleatório Alguns exemplos de CO: uma moeda com faces K: cara e C: coroa,$A_1=\{k,c\}$ , um dado,$A_2=\{1,2,3,4,5,6\}$ , uma fila,$A_3=\{P_1,P_2,P_3,P_4\}$, sendo cada P_i uma pessoa da fila, um conjunto de camisas,$A_4=\{C_1,C_2,C_3\}$, sendo cada C_i uma camisa distinta.

Sejam os conjuntos objetos $A_i=\{a_{\text{i1}},a_{\text{i2}},...,a_{i{m}_i}\}$, para $1\le i\le k,k$ um número qualquer, k, sendo mi o número de elementos (cardinalidade) de cada A_i, isto também pode ser representado como:$\#A_i=m_i$. O espaço amostral,$\mathrm{\Omega }$, é definido pelo produto cartesiano:$\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times ...\times A_r=\left\{\right(X_1,X_2,...,X_r\left)\right|X_i$ $A_i,1\le i\le r$, sendo r um número arbitrário,$r\ge 2$, onde chamamos cada agrupamento $(X_1,X_2,...,X_r)$ de r-upla. Dessa forma, podemos ter uma dupla (2-upla),$a=(X_1,X_2)$, uma tripla (3-upla),$a=(X_1,X_2,X_3)$, uma quádrupla (4-upla),$a=(X_1,X_2,X_3,X_4)$ e, assim, sucessivamente. As posições da r-upla são chamadas de coordenadas, então, x₁ pertence à primeira coordenada (1ª posição), x₂ pertence à segunda coordenada (2ª posição) e, assim por diante. As coordenadas podem estar ordenadas ou não estar ordenadas, conforme será visto no subtópico “Importância da posição dos elementos na r-upla”.

Os problemas de Análise Combinatória, estudados neste trabalho, envolvem dois tipos de conjuntos: o(s) conjunto(s) objeto(s),$A_i,1\le i\le k$, k , e o espaço amostral,$\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times ...\times A_r$, r. No enunciado devem ser dados, explicitamente ou não, a quantidade k e r. Por exemplo, “Num baralho de 52 cartas, quatro cartas são escolhidas sucessivamente”, neste caso, k=1 e r=4 são dados explicitamente, pois temos apenas um conjunto objeto,$A_1$, constituído de cartas do baralho, e o espaço amostral é $\mathrm{\Omega }=A_1\times A_1\times A_1\times A_1$. Outro exemplo: “Quantos são os divisores de 72?”; neste caso, k e r são dados implicitamente. Para determiná-los, temos que escrever a decomposição e o conjunto dos divisores de 72,$D\left(72\right)=\left\{2^{n_1}{3}^{n_2}\right|n_1=\{0,1,2,3\},n_2=\{0,1,2\}\}$. Daí, temos que k=2 e r=2, pois $A_1=\left\{2^{n_1}\right|0\le n_1\le 3\}=\{2^0,2^1,2^2,2^3\},A_2=\{3^{n_2}|0\le n_2\le 2\}=\{3^0,3^1,3^2\}$ e$\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2$.

Observamos que k e r são números independentes, os quais participam somente do mesmo problema. Assim, dado um problema de combinatória, logo k está relacionado aos conjuntos objetos$A_i,1\le i\le k$, e r está relacionado com o r-upla do espaço amostral $\mathrm{\Omega }$.

Neste subtópico exemplificar-se-á como construir uma 3-upla, a qual pode ser estendida para uma r-upla.

Seja um problema de combinatória, ao qual estão relacionados três conjuntos objetos, ou seja, k=3 e i=1,2,3, sendo $A_1=\{a_{11},a_{12}\},\#A_1=m_1=2,A_2=\{a_{21},a_{22},a_{23}\},\#A_2=m_2=3$ e $A_3=\{a_{\mathrm{31}},a_{32},a_{33},a_{34}\},\#A_3=m_3=4$.

O espaço amostral relacionado aos conjuntos objetos acima é dado por:$\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times A_3$, daí construímos uma tripla (agrupamento) qualquer,$x=(b_1,b_2,b_3)$ $\textcolor{red}{}\mathrm{\Omega }$, como segue:

1. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a_1j, j=1,2, do conjunto objeto A₁, e o represente, b₁=a_1j, na primeira coordenada de x=(b₁,_,_). Este elemento a_1j A₁ pode retornar, ou não, ao conjunto objeto (isso será discutido no subtópico “Reposição dos elementos selecionados ao conjunto objeto”);

2. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a_2j, j=1,2,3, do conjunto objeto A2, e o represente,b₂=a_2j na segunda coordenada de x=(b₁,b₂,_). Este elemento, a_2j A₃, pode retornar, ou não, ao conjunto objeto;

3. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a_3j, j=1,2,3,4, do conjunto objeto A₃, e o represente, b₃=a_3j na terceira coordenada de x=(b₁,b₂,b₃,). Este elemento, a_3j A₃, pode retornar, ou não, ao conjunto objeto.

Considerando outro problema de contagem, tal que K = 1, sendo o conjunto objeto$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\},\#A=m=4$. Daí, temos outro espaço amostral, ${\mathrm{\Omega }}_1=A\times A\times A=A^3$, e com isto podemos construir a tripla qualquer, $y=(c_1,c_2,c_3)$ ${\mathrm{\Omega }}_1$, como segue:

1. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a₁ do conjunto objeto A, e o represente, c₁ = a₁, na primeira coordenada de y = (c₁,_,_). Este elemento, a₁ A, pode retornar, ou não, ao conjunto;

2. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a₂ do conjunto objeto A, e o represente, c₂ = a₂, na segunda coordenada de y = (c₁, c₂,_). Este elemento, a₂ A, pode retornar, ou não, ao conjunto objeto;

3. Selecionar, aleatoriamente, um elemento a₃ do conjunto objeto A, e o represente, c₃ = a₃ na terceira coordenada de y = (c₁,c₂,c₃). Este elemento, a₃ A, pode retornar, ou não, ao conjunto objeto.

As definições acima podem ser estendidas da tripla para uma r-upla qualquer,(b₁,b₂,...,b_r), sendo r um inteiro não negativo, $r\ge 2$.

A partir do exemplo do subtópico anterior, construindo uma tripla, sejam $\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times A_3$ e$x=\left(b_1,b_2,b_3\right)$ $\textcolor{red}{}\mathrm{\Omega }$. Dizemos que a posição dos elementos na tripla é importante (ou simplesmente, a posição é importante), quando os elementos selecionados b₁, b₂ e b₃, respectivamente, de A₁, A₂ e A₃, devem estar ordenados na tripla de acordo com o produto cartesiano A₁ x A₂ x A₃. Caso contrário, dizemos que a posição dos elementos na tripla não é importante (ou simplesmente, a posição não é importante), ou seja, quando os elementos selecionados b₁, b₂ e b₃, respectivamente, de A₁, A₂ e A₃, não precisam estar ordenados na tripla, de acordo com o produto cartesiano A₁ x A₂ x A₃.

Por exemplo, caso possa ocorrer a tripla x = (b₃,b₁,b₂), b_i A_i , i = 1,2,3, que não está representada conforme o produto cartesiano $\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times A_3$, temos que a posição não é importante. No caso do produto cartesiano ser da forma $\mathrm{\Omega }=A_{\textcolor{red}{}}\times A_{\textcolor{red}{}}\times A_{\textcolor{red}{}}$, são mantidas as noções acima de “posição é importante ou não”. As definições acima podem ser estendidas da tripla para uma r-upla qualquer, (b₁,b₂,...,b_r), sendo r um inteiro não negativo, $r\ge 2$.

No exemplo do subtópico “Construindo uma tripla”, para $\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times A_3$, considerando o primeiro passo onde selecionamos o elemento a₁₁ A₁, temos a representação, b₁ = a₁₁, com isso, a primeira coordenada será x = (a₁₁,_,_). Daí, após a representação na tripla, o elemento a₁₁ pode:

· Retornar ao conjunto objeto, A₁, de tal forma que ele poderá ser selecionado novamente. Neste caso, este procedimento está relacionado a um problema de combinatória com reposição,

· Não retornar ao conjunto objeto, A₁, de tal forma que ele não poderá ser selecionado novamente. Neste caso, este procedimento está relacionado a um problema de combinatória sem reposição.

Analogamente ao que fizemos acima, para a primeira coordenada, fazemos para as demais posições da tripla. Assim, os agrupamentos, (b₁,b₂,b₃), podem estar relacionadas a um problema de combinatória com ou sem reposição. Estas definições podem ser estendidas para toda r-upla, $r\ge 2$ . No caso de termos um problema sem reposição, diremos que os elementos da r-upla são distintos e, para o caso de termos um problema com reposição, diremos que os elementos da r-upla são não-distintos (ou indistintos).

Os problemas de combinatórias consistem em determinar a cardinalidade do espaço amostral, isto é, $\#\mathrm{\Omega }$.

A seguir será enunciado, em duas partes, A e B, o Princípio Multiplicativo (Princípio Fundamental da Contagem – PFC), cujas determinações das fórmulas e demonstrações de teoremas são encontradas no trabalho de Hazzan e Iezzi (2012). O PFC–A considera k conjuntos objetos e está relacionado aos problemas de combinatória com reposição. Já o PFC–B considera apenas um conjunto objeto e está relacionado aos problemas de combinatória sem reposição.

Teorema 1 . (PFC – Parte A)

Sejam os conjuntos objetos $A_i=\left\{a_{i_{j_i}}\right\}$, para $1\le i\le r$, r ,$r\ge 2,$ $1\le j_i\le m_i$, $\#A_i=m_i$. Se$\mathrm{\Omega }=A_1\times A_2\times ...\times A_r\left\{\right(b_1,b_2,...,b_r\left)\right|b_i$ $A_i,1\le i\le r\}$, sendo as r-uplas relacionadas a um problema de combinatória com reposição, então (b₁,b₂,...,b_r).

A quantidade $\#{\mathrm{\Omega }}_1$ apresentada no Teorema 1 é o número total de arranjos com reposição.

Teorema 2 . (Princípio Fundamental da Contagem – Parte B)

Seja o conjunto objeto $A_{\textcolor{red}{}}=\left\{a_j\right\}$, Para $1\le j\le m$, $\#A_{\textcolor{red}{}}=m_{\textcolor{red}{}}$, $r\ge 2$ e r . Se $\mathrm{\Omega }=\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{A\times A\times ...\times A}}{r\text{vezes}}=\left\{\right(b_1,b_2,....,b_r\left)\right|b_i$ $A,1\le i\le r\}$ sendo as r-uplas (b₁,b₂,...,b_r) relacionadas a um problema de combinatória sem reposição, então$\#{\mathrm{\Omega }}_2=m(m-1)(m-2)...(m-(r-1\left)\right)=\frac{m!}{(m-r)!}$.

A quantidade $\#{\mathrm{\Omega }}_2$, apresentada no Teorema 2, é o número total de arranjos simples (sem reposição).

Dado(s) o(s) conjunto(s) objeto(s)$A_i=\left\{a_{i_{j_i}}\right\}$, para $1\le j\le s$, s, $s\ge 1,1\le m_i$, sendo $\#A_i=m_i$. Os problemas de combinatória são chamados de combinação, arranjo e permutação. Tais problemas estão relacionados aos respectivos espaços amostrais,$\textcolor{red}{}\mathrm{\Omega }$, e a r-upla, (b₁,b₂,...,b_r)$\textcolor{red}{}\mathrm{\Omega }$, sendo$r\ge 2$. Conforme o tipo de problema de combinatória são formados agrupamentos, representados pelas r-uplas. Desta forma, desejamos saber a quantidade de r-uplas, isto é, a cardinalidade do espaço amostral,$\#\mathrm{\Omega }$. Para tal, seguem abaixo as definições, fórmulas e as características desses problemas, conforme os trabalhos de Hazzan e Iezzi (2012) e Santos, Mello e Murari (2007).

1) Arranjo com reposição.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· com reposição

· a posição de b_i na r-upla é importante e

· os elementos do conjunto objeto são distintos

são denominados arranjos com reposição. Assim, o número de r-uplas, formadas pelos m₁,m₂,...,m_r elementos de A₁,A₂,...,A_r, é dado por (Teorema 1):

$\#\mathrm{\Omega }={\text{AR}}^{m_1{m}_2...m_r}=m_1{m}_2...m_r$ (1 )

2) Arranjo simples.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de b_i na r-upla é importante e

· os elementos do conjunto objeto são distintos

são denominados arranjos simples. Assim, o número de r-uplas, formadas pelos elementos de A, é dado por (Teorema 2):

$\#\mathrm{\Omega }=A_r^m=\frac{m!}{(m-r)!}.$ (2)

3) Combinação simples.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· sem reposição,

· posição dos elementos b_i na r-upla não é importante e

· os elementos do conjunto objeto são distintos

são denominados combinação simples.

Sejam o conjunto objeto $A=\left\{a_j\right\},1\le j\le m,\#A=m$, e o espaço amostral: $\mathrm{\Omega }=A^r=\left\{\right(b_1,b_2,...,b_r\left)\right|b_i$ $A,1\le i\le r\}$,

sendo $r\ge 2$ e r . Assim, o número de r-uplas, formadas pelos m elementos de A, é dado por:

$\#\mathrm{\Omega }=C_r^m=\frac{m!}{(m-r)!r!}.$ (3)

4) Combinação com repetição.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· com reposição,

· posição dos elementos b_i na r-upla não é importante e

· existem elementos repetidos no conjunto objeto

são denominados combinação com repetição.

Sejam o conjunto objeto $A=\left\{a_j\right\},1\le j\le m,\#A=m$ e o espaço amostral:

$\mathrm{\Omega }=A^r=\left\{\right(b_1,b_2,...,b_r\left)\right|b_i$ $A,1\le i\le r\}$,

sendo $r\ge 2$ e r. Assim, o número das r-uplas, formadas pelos m elementos de A, é dado por:

$\#\mathrm{\Omega }={\text{CR}}_r^m=C_m^{r+m-1}=\frac{(r+m-1)!}{(r-1)!m!}.$ (4)

5) Permutação simples.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de b_i na r-upla é importante,

· os elementos do conjunto objeto são distintos e

· o número de elementos da r-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto

são denominados permutação simples.

Sejam o conjunto objeto $A=\left\{a_j\right\},1\le j\le m,\#A=m$, e o espaço amostral:

$\mathrm{\Omega }=A^m=\left\{\right(b_1,b_2,...,b_m\left)\right|b_i\textcolor{red}{}$ $A,1\le i\le m\}$

Assim, o número de r-uplas, formadas pelos m elementos de A, é dado por:

$\#\mathrm{\Omega }=P_m=m!.$ (5)

6) Permutação circular.

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de b_i na r-upla é importante,

· os elementos do conjunto objeto são distintos,

· o número de elementos da r-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto,

· os elementos do conjunto objeto podem ser representados em uma circunferência

são denominados permutação circular.

Sejam o conjunto objeto$A=\left\{a_j\right\},1\le j\le m,\#A=m$ e o espaço amostral:

$\mathrm{\Omega }=A^m=\left\{\right(b_1,b_2,...,b_m\left)\right|b_i$ $A,1\le i\le m\}.$

Assim, o número de r-uplas, formadas pelos m elementos de A, é dado por:

$\#\mathrm{\Omega }={\text{PC}}_m=(m-1)!$. (6)

7) Permutação com elementos repetidos:

Os problemas de combinatória com as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de b_i na r-upla é importante,

· o número de elementos da r-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto e

· existem elementos repetidos no conjunto objeto

são denominados Permutação com Elementos Repetidos.

Sejam o conjunto objeto:

, daí , e o espaço amostral:

Assim, a permutação com elementos repetidos é dada por:

(7)

Problema: Quantos números telefônicos, com 7 dígitos distintos, podem ser formados se usarmos os dígitos de 0 a 9?

Solução única:

(i) Seja o conjunto objeto (CO):$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, conjunto dos dígitos de 0 até 9, sendo:$\#A=m=10$.

(ii) Para construir o espaço amostral, , a partir do CO A, observamos no enunciado que os números de telefones devem ter 7 dígitos, assim:

.

O evento sugerido no enunciado é tomar números do CO A e gerar 7-uplas de tal forma que os números dentro de cada 7-upla ocorram apenas uma vez (7 dígitos distintos), caracterizando que os elementos selecionados não retornam para o CO (sem reposição).

(iii) Considerando os Itens (i) e (ii), utilizando o fluxograma (Figura 1) e a Tabela 2, a solução do problema é dada pela seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 3, 8, 11 e 12, que representa a solução de um problema de Arranjo Simples. Com isso, temos a fórmula dada pela Equação (2) e, portanto, a solução do problema é:

ou seja, existem 604.800 números de telefones com 7 dígitos distintos.

Problema: Existem duas urnas. A primeira urna contém quatro bolas numeradas de 1 a 4 e a segunda urna contém três bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da primeira urna, sucessivamente e sem reposição, e, em seguida, duas bolas são extraídas da segunda urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números de quatro algarismos são possíveis formar nestas condições?

Solução mista:

i) Sejam os conjuntos objetos (CO):, conjunto de bolas da primeira urna,, conjunto de bolas da segunda urna,.

ii) A partir do enunciado, temos que extrair duas bolas de cada urna. Assim, se considerarmos o espaço amostrar, do tipo , não será possível resolver o problema, conforme as condições dadas no enunciado. Daí temos que separar o problema em duas partes, onde devemos calcular os seguintes espaços amostrais:

, conjunto das 2-uplas de bolas retiradas da primeira urna, sendo r_i=2 e,

, conjunto das 2-uplas de bolas retiradas da segunda urna, sendo r₂=2.

O espaço amostrar ${\mathrm{\Omega }}_1$ é formado, após retirar da primeira urna, de duas bolas sucessivamente e estas não retornam ao conjunto objeto. Por se tratar de uma fila que vai compor um número de dois algarismos, a ordem dos elementos na 2-upla, (a₁,a₂), é importante. Analogamente, o espaço amostrar ${\mathrm{\Omega }}_2$ é formado, após retirar da segunda urna, duas bolas sucessivamente e estas não retornam ao conjunto objeto. Por se tratar de uma fila que vai compor um número de dois algarismos, a ordem dos elementos na 2-upla,(b₁,b₂), é importante.

iii) Considerando os Itens (i) e (ii), utilizando o fluxograma (Figura 1) e a Tabela 2, temos as seguintes sequências de números das linhas conectoras:

· Primeira urna: 1, 2, 3, 8, 11 e 12, que representa um problema de Arranjo Simples, cuja fórmula é dada pela Equação (2). Portanto a solução é:

ou seja, existem 12 números de dois algarismos formados pelos elementos da primeira urna.

· Segunda urna: 1, 2, 3, 8, 11 e 12, que representa um problema de Arranjo Simples, cuja fórmula é dada pela Equação (2). Portanto a solução é:

,

ou seja, existem 6 números de dois algarismos formados pelos elementos da segunda urna.

iv) No enunciado solicitou-se determinar quantos números de quatro algarismos são possíveis formar conforme as condições dadas no Item (iii). Logo, temos que gerar números de 4 algarismos, ou seja, 4-uplas compostas da seguinte forma: (y₁,y₂), sendo e . Desta forma, consideramos ${\mathrm{\Omega }}_1$ e ${\mathrm{\Omega }}_2$ sendo conjuntos objetos (CO). Daí, construímos o seguinte espaço amostral:

,

ou seja, o conjunto das 2-uplas de bolas retiradas da primeira e segunda urna, sendo r = 2. Embora os elementos de $\mathrm{\Omega }$ sejam compostos por 2-uplas, cada elemento desta 2-upla é composto por dois algarismos, formando os 4 algarismos solicitado no problema. Além disso, cada elemento da 2-upla,(y₁,y₂), podem retornar aos conjuntos objetos ${\mathrm{\Omega }}_1$ e ${\mathrm{\Omega }}_2$.

v) Considerando o Itens (iv), utilizando o fluxograma (Figura 1) e a Tabela 2, temos a seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 4, 9 e 14, que representa a solução de um problema de Arranjo com reposição, cuja fórmula é dada pela Equação (1). Portanto, a solução é:

,

ou seja, existem 72 números de 4 algarismos formados pelos elementos da primeira e segunda urnas.

Problema: Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, se em cada uma delas houver 3 homens e 2 mulheres?

Solução mista:

i) CO:

·, conjunto de homens, sendo , e

· , conjunto de mulheres, sendo .

ii) Espaços Amostrais:

·: conjunto das 3-uplas de homens retirados de H, sendo r_i = 3,

· : conjunto das 2-uplas de mulheres retiradas de M, sendo r2= 2 e

·: conjunto das 2-uplas de homens e mulheres retirados, respectivamente de ${\mathrm{\Omega }}_1$ e${\mathrm{\Omega }}_2$, sendo r= 2.

iii) Cálculo de $\#{\mathrm{\Omega }}_1$ e $\#{\mathrm{\Omega }}_2$

· Com relação aos espaços amostrais ${\mathrm{\Omega }}_1$ e ${\mathrm{\Omega }}_2$, os elementos não retornam aos respectivos COs,

· Não importa a ordem das escolhas dos elementos de ${\mathrm{\Omega }}_1$ e ${\mathrm{\Omega }}_2$,

· Utilizando o fluxograma Figura 1 e a Tabela 2, temos as seguintes sequências de números das linhas conectoras:

- Para ${\text{Ω}}_1$: 1, 2, 5 e 6, que representa a solução de um problema de Combinação Simples, cuja fórmula é dada pela Equação (3), portanto, a solução é:

ou seja, existem 120 comissões de três homens.

- Para ${\mathrm{\Omega }}_2$: 1, 2, 5 e 6, que representa a solução de um problema de Combinação Simples, cuja fórmula é dada pela Equação (3), portanto, a solução é:

ou seja, existem 45 comissões de duas mulheres.

iv) Cálculo de $\#{\mathrm{\Omega }}_{\textcolor{red}{}}$

· Os elementos que retornam ao cada elemento da 2-upla,(a₁,a₂), podem retornar, respectivamente, aos conjuntos objetos ${\mathrm{\Omega }}_1$ e${\mathrm{\Omega }}_2$.

· Utilizando o fluxograma Figura 1 e a Tabela 2, temos as seguintes sequências de números das linhas conectoras: 1, 2, 4, 9 e 14, que representa a solução de Arranjo com reposição, cuja fórmula é dada pela Equação (1), portanto, a solução é:

ou seja, existem 5400 comissões formadas por 3 homens e duas mulheres.

Problema: De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos em 4 caixas diferentes?

Solução única:

CO:

Espaço amostral:.

Pelo enunciado temos as seguintes características:

· com reposição,

· posição dos elementos b_i na 4-upla não é importante,

· existem elementos repetidos no conjunto objeto A.

Pela Figura 1 e a Tabela 2, temos a seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 4, 7 e 10. Assim, a quantidade de maneiras diferentes de distribuir os bombons nas caixas é dada por (Equação (4)):

Problema: Nomeando-se 6 cidades por A, B, C, D, E e F determine o número de maneiras que permitem a ida de A para F, passando por todas demais cidades.

Solução única:

CO:

Espaço amostral:

Pelo enunciado, temos as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de x_i na r-upla é importante,

· o número de elementos da r-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto.

Pela Figura 1 e a Tabela 2, temos a seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 3, 8, 13, 17, 20 e 21. Assim, o número de maneiras que se pode ir da cidade A para cidade F é dada por (Equação (5)):

Problema: De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

Solução única:

Espaço amostral:

Pelo enunciado, temos as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de x_i na 4-upla é importante,

· o número de elementos da 4-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto e

· os elementos do CO podem ser inseridos em um círculo.

Pela Figura 1 e a Tabela 2, temos a seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 3, 8, 13, 17, 18 e 19. Assim, a quantidade de formas com que 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular é dada por (Equação (6)):

Problema: Se um time de futebol jogou 13 partidas em um campeonato, tendo perdido 5 jogos, empatado 2 e vencido 6 jogos, de quantos modos pode isto ter ocorrido?

Solução única:

Espaço amostral:

Pelo enunciado temos as seguintes características:

· sem reposição,

· a posição de x_i na 13-upla é importante,

· o número de elementos da13-upla é igual ao número de elementos do conjunto objeto e

· existem elementos repetidos no conjunto objeto.

Pela Figura 1 e a Tabela 2, temos a seguinte sequência de números das linhas conectoras: 1, 2, 3, 8, 13, 15 e 16. Assim, a quantidade de modos com que um time de futebol, o qual disputou 13 partidas, dentre as quais perdeu 5 jogos, empatou 2 jogos e venceu 6 jogos é (Equação (7)):