Nativa, Sinop, v. 10, n. 3, p. 307-311, 2022.
Pesquisas Agrárias e Ambientais
DOI: https://doi.org/10.31413/nativa.v10i3.13508 ISSN: 2318-7670
Viabilidade econômica agrícola em relação aos insumos água e nitrogênio
Angel Ramon Sanchez DELGADO1* & Sergio Drumond VENTURA1
1Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropédica, RJ, Brasil.
E-mail: asanchez@ufrrj.br
ORCID: (0000-0002-5108-4107; 0000-0001-9166-1856)
Submetido em 02/03/2022; Aceito em 14/07/2022; Publicado em 19/08/2022.
RESUMO: Em um planejamento agrícola é importante saber se existem insumos suficientes para alcançar
certos níveis de produtividade de um conjunto de culturas, considerando que os insumos e seus custos são
limitados. Nesse trabalho apresenta-se uma modelagem matemática e um procedimento computacional que
determina se existe ou não um vetor de insumos limitados: lâmina de água e dose de nitrogênio, que permita
alcançar determinados níveis de produção pré-fixados, sem exceder determinado capital de gastos disponíveis
em insumos. Iterativamente o procedimento implementado utiliza como pontos testes o chamado “centro
analítico” de uma região fechada e limitada. O procedimento foi testado para as culturas agrícolas: Alface, Aveia,
Meloeiro e Cebola, com dados conhecidos na literatura em relação às exigências impostas à produção e custos
dos insumos lâmina de água e dose de nitrogênio.
Palavras-chave: confiabilidade econômica; função Cobb-Douglas; centro analítico.
Agricultural economic feasibility in relation to inputs water and nitrogen
ABSTRACT: In an agricultural planning it is important to know if there are enough inputs to reach certain
levels of productivity of a set of cultures, considering that the inputs and their costs are limited. This work
presents a mathematical modeling and a computational procedure that determines whether there is a vector of
limited inputs: water depth and nitrogen dose, which allows reaching certain pre-set production levels, without
exceeding certain available expenditure capital. in inputs. Iteratively, the implemented procedure uses the so-
called “analytical center” of a closed and limited region as test points. The procedure was tested for the
following crops: Lettuce, Oats, Melon and Onion, with data known in the literature in relation to the
requirements imposed on production and costs of inputs, water depth and nitrogen dose.
Keywords: economic reliability; Cobb-Douglas function; analytical center.
1. INTRODUÇÃO
Muitas vezes a confiabilidade econômica de um
empreendedor ou produtor agrícola pode estar baseada no
conhecimento da viabilidade de alcançar certos níveis de
produção de uma determinada cultura, em relação aos
insumos (por exemplo, lâmina de água e dose de nitrogênio),
sabendo que tais recursos estarão limitados em magnitude e
custos no seu planejamento.
A distribuição irregular dos insumos água e nitrogênio
(variáveis centrais no planejamento agrícola), e a escassez de
capital, justificam que o pequeno e médio produtor, procure
modelos matemáticos que representem um espaço da
viabilidade de produção economicamente confiável de
determinadas culturas agrícolas. Em geral, os modelos estão
inteiramente ligados às funções de produção em relação a
lâmina de água e dose de nitrogênio, como também aos
custos de produção (DELGADO; VENTURA, 2019).
Entendemos por função de produção ou resposta de uma
cultura agrícola, aquela que expressa a relação física entre as
quantidades utilizadas de certo conjunto de insumos, e as
quantidades físicas máximas que se podem obter do produto,
para uma dada tecnologia usada (Frizzone; Andrade Junior,
2005). O emprego das funções resposta à produção e receita
líquida na análise dos resultados de experiências agrícolas,
está bastante difundido (MOUSINHO et al., 2003;
FRIZZONE et al., 2005; MONTEIRO et al., 2006; SILVA
et al., 2008; CARVALHO et al., 2009; TEODORO et al.,
2013).
Na prática, sabe-se que não é possível determinar a função
resposta ou produção de uma cultura de forma exata, devido
a grande variedade de variáveis climáticas, atributos físicos e
muitos outros fatores que participam na sua construção.
Mesmo assim, existem técnicas tipo regressão, que permitem
obter boas aproximações das funções de produção ou
resposta de cada cultura. Nesse trabalho medimos a
produção fazendo uso da conhecida função de Cobb-
Douglas (VARIAN et al., 2012).
A quase um século que a função produção de Cobb-
Douglas é amplamente utilizada para representar a relação de
uma saída de insumos. Em 1928, Charles Cobb e Paul
Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o
crescimento da economia americana durante o período de
1899-1922, onde o modelo provou ser muito preciso. Na
atualidade o termo função de produção Cobb Douglas tem
sido usado para se referir a quase qualquer função de
produção multiplicativa simples (BESANKO;
BRAEUTIGAN, 2010). Aqui será utilizada para medir a
produção alcançável em relação aos insumos lâmina de água
e dose de nitrogênio.
Apresenta-se um procedimento ou heurística
computacional que determina se existe ou não um vetor de
insumos limitados: lâmina de água e dose de nitrogênio, que
Viabilidade econômica agrícola em relação aos insumos água e nitrogênio
Nativa, Sinop, v. 10, n. 3, p. 307-311, 2022.
308
permita alcançar determinados níveis de produção pré-
fixados, sem exceder determinado capital de gastos
disponíveis em insumos. Para o produtor significa saber se é
possível achar uma lâmina de água e uma dose de nitrogênio,
tal que a produtividade de cada cultura seja superior a uma
produção conhecida ou estimada com custos dos insumos
limitados (SANDRI et al., 2014; PEREIRA et al., 2015;).
Iterativamente o procedimento utiliza como pontos testes
o chamado “centro analítico aproximado” de uma região
fechada e limitada, definido como um ponto ou vetor mais
afastado da fronteira da região considerada (FEIJOO et al.,
1997; VENTURA et al., 2015;). O objetivo é determinar se
existe ou não um vetor de insumos limitados lâmina de água
e dose de nitrogênio, que permita alcançar determinados
níveis de produção pré-fixados, sem exceder determinado
capital de gastos disponíveis em insumos. Finalmente são
apresentados e discutidos os resultados numéricos obtidos
para um conjunto de culturas agrícolas com dados
conhecidos na literatura.
2. MATERIAL E MÉTODOS
Dado um conjunto de culturas agrícolas 𝐼 ={1,2,…,𝑛} ,
associemos aleatoriamente a cada 𝑖 ∈ 𝐼 um 𝛼∈(0,1).
Suponha que se 𝑖,𝑗 ∈ 𝐼 (𝑖 ≠𝑗) então 𝛼≠𝛼 . Definamos
para cada 𝑤− lâmina de água (𝑚𝑚) e 𝑛− dose de
nitrogênio (𝑘𝑔) a função multiplicativa de Cobb-Douglas
dada por:
𝑦(𝑤,𝑛)= 𝑘𝑤𝑛, 𝑘 > 0,𝑖 ∈ 𝐼 (01)
Também seja:
ℎ(𝑤,𝑛)= 𝑐
𝑤+𝑐
𝑛 (02)
(função de custos dos insumos agrícolas), em que 𝑐
representa o custo da lâmina de água utilizada na cultura 𝑖
(𝑅$.𝑚𝑚.ℎ𝑎) e 𝑐
o custo da dose de nitrogênio
utilizada na cultura 𝑖 (𝑅$.𝑘𝑔ℎ𝑎). Define-se o espaço da
viabilidade de produção agrícola economicamente confiável
como o conjunto:
𝑆 = (𝑤,𝑛): 𝑦(𝑤,𝑛)≥ 𝑦; ℎ(𝑤,𝑛)≤ 𝜌;
𝑖 ∈ 𝐼; 𝑤≤ 𝑤 ≤ 𝑤 ; 𝑛≤𝑛 ≤ 𝑛
em que:
𝑦− produção pré-fixada para o conjunto de culturas 𝐼
(𝑘𝑔.ℎ𝑎).
𝜌− gasto máximo permitido nos insumos lâmina de água e
dose de nitrogênio da cultura 𝑖 ∈ 𝐼. (𝑅$.ℎ𝑎).
𝑤, 𝑛− limitante inferior da lâmina de água (𝑚𝑚) e da dose
de nitrogênio (𝑘𝑔) respectivamente.
𝑤, 𝑛−limitante superior da lâmina de água (𝑚𝑚) e da
dose de nitrogênio (𝑘𝑔) respectivamente.
Suponha que o interior de 𝑆 é não vazio (𝑖𝑛𝑡(𝑆)≠∅) e
limitado (Izmailov; Solodov, 2012). O problema de interesse
é determinar se existe (𝑤,𝑛)∈ 𝑆; isto é, se 𝑆 ≠ ∅ (𝑆 não
vazio). Sejam 𝑓(𝑤,𝑛)= 𝑦−𝑘𝑤𝑛 e 𝑔(𝑤,𝑛)=
ℎ(𝑤,𝑛)−𝜌, para cada 𝑖 ∈ 𝐼. Então 𝑆 pode ser escrito
como:
𝑆 =(𝑤,𝑛): 𝑓(𝑤,𝑛)≤ 0; 𝑔(𝑤,𝑛)≤ 0;
i∈ I; 𝑤≤ w ≤ 𝑤 ; 𝑛≤ n ≤ 𝑛 ,
e o problema a ser tratado neste trabalho, é determinar se
existe (𝑤,𝑛)∈ 𝑆 no contexto de “centro analítico
aproximado” da região 𝑆 (VENTURA et al., 2015).
Define-se o centro analítico (𝑤,𝑛) associado a 𝑆, como
o vetor (𝑤,𝑛) ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑆) mais afastado da fronteira de 𝑆. Isso
é equivalente a dizer que (𝑤,𝑛) é o ponto no 𝑖𝑛𝑡(𝑆) onde
a função 𝐵(𝑤,𝑛) alcança seu valor mínimo. Esta função é
conhecida como a barreira logarítmica associada a 𝑆 e está
dada por:
𝐵(𝑤,𝑛)= −𝐿𝑛[−
𝑓(𝑤,𝑛)]−𝐿𝑛[−𝑔(𝑤,𝑛)]−
𝐿𝑛(𝑤
−𝑤)− 𝐿𝑛𝑤− 𝑤−𝐿𝑛(𝑛
−𝑛)−𝐿𝑛𝑛−
𝑛
(03)
Note que a função 𝐵(𝑤,𝑛) penaliza os pontos próximos da
fronteira de 𝑆 e é estritamente convexa no interior de 𝑆
(Izmailov; Solodov, 2012). Em vista de não ser possível
determinar de forma exata o centro analítico (𝑤,𝑛)
associado a 𝑆, utilizaremos o conceito de proximidade de um
ponto (𝑤,𝑛) ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑆) ao centro analítico (𝑤,𝑛), como:
𝛿(𝑤,𝑛) = ‖𝐻(𝑤,𝑛)𝑔(𝑤,𝑛)‖ (04)
onde 𝐻(𝑤,𝑛), 𝑔(𝑤,𝑛), representam a matriz Hessiana e o
vetor gradiente de 𝐵(𝑤,𝑛) no ponto (𝑤,𝑛). Também, ‖.‖
é a norma relativa a 𝐻, definida como:
‖(𝑥,𝑦)‖=(𝑥,𝑦)𝐻𝑥
𝑦 (05)
para todo (𝑥,𝑦) ∈ ℝ, (𝑥,𝑦) ≠ (0,0).
Agora, (𝑤,𝑛) se diz próximo do centro analítico
(𝑤,𝑛), se 𝛿(𝑤,𝑛)< 𝜀 para 𝜀 ∈ (0,1). Note que
𝛿(𝑤,𝑛)= 0 se e somente se (𝑤,𝑛)=(𝑤,𝑛).
Em seguida o procedimento computacional implementado
em Matlab 7.4. para alcançar o objetivo do trabalho.
DADOS
𝐼 = {1,2,…,𝑛}− Conjunto de culturas agrícolas a ser
desenvolvidas em um perímetro irrigado.
Para cada 𝑖 ∈ 𝐼: 𝑐
, 𝑐
, 𝜌 ∈ ℝ
𝑦,𝑤, 𝑛,𝑤, 𝑛 ∈ ℝ
COMEÇO
PASSO 1
FAZER
𝑆 ={(𝑤,𝑛)∈ ℝ: 𝑤≤𝑤 ≤ 𝑤; 𝑛≤ 𝑛 ≤𝑛}
SEJA (𝑤
,𝑛
) o centro analítico de 𝑆.
FAZER
(𝑤,𝑛)= (𝑤
,𝑛
)
PASSO 2
Para cada 𝑖 ∈ 𝐼
FIXAR 𝛼∈(0,1). 𝛼≠𝛼 se 𝑖 ≠𝑗.
FAZER 𝑦(𝑤,𝑛)=1,01 𝑤 𝑛
ℎ(𝑤,𝑛) = 𝑐
𝑤+𝑐
𝑛
FAZER 𝑓(𝑤,𝑛)= 𝑦−𝑦(𝑤,𝑛)
𝑔(𝑤,𝑛)= ℎ(𝑤,𝑛)−𝜌
Delgado & Ventura
Nativa, Sinop, v. 10, n. 3, p. 307-311, 2022.
309
PASSO 3
Para 𝑖 ∈ 𝐼
Se 𝑓(𝑤,𝑛) > 0
FAZER 𝑆= 𝑆∪(𝑤,𝑛)∈ ℝ: 𝑓(𝑤,𝑛) ≤ 0
“Recuperar um centro analítico aproximado (𝑤
,𝑛
) de S
a partir de (𝑤,𝑛)”
FAZER (𝑤,𝑛)= (𝑤
,𝑛
) e 𝑆 = 𝑆
Se ℎ(𝑤,𝑛) > 0
FAZER 𝑆= 𝑆∪{(𝑤,𝑛)∈ ℝ: ℎ(𝑤,𝑛) ≤ 0}
“Recuperar um centro analítico aproximado (𝑤
,𝑛
) de S
a partir de (𝑤,𝑛)”
FAZER (𝑤,𝑛)= (𝑤
,𝑛
) e 𝑆 = 𝑆
FIM
O procedimento anterior inicia-se com a construção da
caixa bidimensional 𝑆 =[𝑤,𝑤]×[𝑛,𝑛], onde o centro
analítico de 𝑆 coincide com o centro geométrico de 𝑆;
(𝑤
,𝑛
), e, portanto, temos de “graça” o ponto teste inicial
(centro analítico exato) do procedimento (passo 1). Já no
passo 2, e para cada cultura (𝑖 ∈ 𝐼), fixa-se o parâmetro de
elasticidade 𝛼∈(0,1) na função de produção Cobb-
Douglas, que representa o grau de contribuição (%) que tem
cada insumo (lâmina de água e dose de nitrogênio) sobre a
produção. Seguidamente definem-se as funções
auxiliares: 𝑓(𝑤,𝑛),𝑔(𝑤,𝑛).
No passo 3 é checado se todas as desigualdades que
compõem ao 𝑆 dado inicialmente são devidamente satisfeitas
pelo ponto teste atual (centro analítico aproximado). Se fosse
assim, então temos o ponto desejado. Caso contrário, a
desigualdade não satisfeita (referente à produção ou custos
de insumos) é acrescentada a 𝑆 e realizamos uma sub-rotina
chamada de “recuperação do centro analítico da região perturbada 𝑆”,
descrita em Ventura et al. (2015), e que fundamentalmente
está baseada na determinação de um deslocamento do lado
direito da nova desigualdade acrescentada, de tal forma que
o centro analítico aproximado atual continue estando
próximo do respectivo centro analítico da região trasladada.
Seguidamente baixo sucessivos decrescimentos deste novo
lado direito da desigualdade não satisfeita, e as devidas
centralizações necessárias de ser realizadas, obtém-se um
novo centro analítico aproximado do respectivo 𝑆. O
procedimento termina quando todas as desigualdades em 𝑆
tenham sido checadas, achando um ponto (𝑤∗,𝑛∗) ∈ 𝑆 ou
declarando que 𝑆 =∅.
É importante destacar que o modelo computacional
apresentado para a resolução de problemas de viabilidade
agrícola, também pode ser utilizado na resolução de
problemas de otimização agrícola (IZMAILOV;
SOLODOV, 2012).
Para testar computacionalmente o procedimento
apresentado, foram realizados ensaios numéricos utilizando
informações conhecidas na literatura para as culturas
agrícolas: Cebola (Baptestini, 2013), Alface (Silva et al. 2008),
Meloeiro (Monteiro et al. 2006) e Aveia (Frizzone et al. 1995).
De acordo com os dados fornecidos pelas fontes
bibliográficas, é viável ou razoável supor que para as culturas
consideradas, a mínima lâmina de água seja de 100 𝑚𝑚 e a
máxima de 600 𝑚𝑚. Já para o insumo do nitrogênio, fixou-
se um teto de 300 𝑘𝑔.ℎ𝑎, e considerou-se uma dose
mínima de 100 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
Estamos supondo que: 𝑅$ 300 ≤ ℎ(𝑤,𝑛)≤ 𝑅$ 800,
para cada 𝑖 ∈ 𝐼. Em relação ao parâmetro 𝑦, foi pré-fixado
250 𝑘𝑔.ℎ𝑎 para todas as culturas. Nesta experiência
numérica, o primeiro ensaio considerou a caixa
bidimensional [100,500]×[0,300], o segundo a caixa
[100,400]×[100,300] e o terceiro a caixa bidimensional
[100,600]×[100,300]. Os custos dos insumos lâmina de
água (𝑤) e dose de nitrogênio (𝑛) do momento, encontram-
se na Tabela 1.
Tabela 1. Custos da lâmina de água e custos da dose de nitrogênio
de cada cultura considerada.
Table 1. Water depth costs and nitrogen dose costs for each
considered crop.
Em relação ao grau de contribuição (%) que cada insumo
(lâmina de água e dose de nitrogênio) tem sobre a função de
produção Cobb-Douglas, 𝛼∈(0,1), nesta experiência
consideramos que no caso da Aveia (𝑖 = 1), 𝛼= 0,2; isto
é, a água contribui com 20% enquanto o nitrogênio com
80%. O Melão (𝑖 = 2) com 40% (𝛼= 0,4), a Alface (i=
3) com 60% (𝛼= 0,6), e a Cebola (𝑖 =4) com 80%
(𝛼= 0,8).
3. RESULTADOS
A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos na caixa
bidimensional [100,500]×[0,300].
Tabela 2: Função de produção Cobb-Douglas e função custos dos
insumos lâmina de água e dose de nitrogênio, na solução viável
(𝑤∗,𝑛∗) = (460,59;216,84), com 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
Table 2: Cobb-Douglas production function and input costs
function water depth and nitrogen dose, in the viable solution
(𝑤∗,𝑛∗) = (460,59;216,84), with 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
Note que a solução viável determinada pelo
procedimento, (460,59; 216,84)∈[100,500]×[0,300].
Também para todo 𝑖 ∈ 𝐼, y(460,59;216,84)≥ 𝑦 e
ℎ(460,59; 216,84)≤ 𝜌; isto é, todas as desigualdades que
compõem o espaço da viabilidade de produção agrícola
economicamente confiável são satisfeitas. Mais ainda, a maior
produtividade neste cenário se alcança na cultura da Cebola
com 400,13 𝑘𝑔.ℎ𝑎, e onde o grau de contribuição da
lâmina de água é de 80% (𝛼=0,8), e do nitrogênio de
20%. Já a menor produtividade é alcançada na cultura da
Aveia com 254,62 𝑘𝑔.ℎ𝑎, onde a lâmina de água tem uma
contribuição de 20% (𝛼=0,2), e o nitrogênio de 80%.
Uma situação similar se apresenta com as culturas Melão (𝑖 =
2) e Alface (𝑖 = 3), onde 𝛼= 0,4 com 296,03 𝑘𝑔.ℎ𝑎
CULTURAS
𝑐
(
𝑅
$
.
𝑚𝑚
.
ℎ
𝑎
)
𝑐
(
𝑅
$
.
𝑘𝑔
.
ℎ
𝑎
)
Aveia
(
𝑖
=
1
)
0
,
24
0
,
57
Melão
(
𝑖
=
2
)
0
,
134
2
,
33
Alface
(
i
=
3
)
0
,
134
2
,
33
Cebola
(
𝑖
=
4
)
0
,
025
1
,
20
CULTURAS
y
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑘𝑔
.
ℎ
𝑎
)
ℎ
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
𝜌
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
Aveia
(
𝑖
=
1
)
254,62 667,82 750
Melão
(
𝑖
=
2
)
296,03 566,95 600
Alface
(
𝑖
=
3
)
344,16 620,38 650
Cebola
(
𝑖
=
4
)
400,13 271,72 300
Viabilidade econômica agrícola em relação aos insumos água e nitrogênio
Nativa, Sinop, v. 10, n. 3, p. 307-311, 2022.
310
e 𝛼=0,6 com 344,16 𝑘𝑔.ℎ𝑎 respectivamente. A Figura
1 mostra a trajetória de pontos gerados iterativamente pelo
procedimento, convergindo ao (460,59; 216,84).
Figura 1. Espaço da viabilidade de produção agrícola
economicamente confiável e trajetória de pontos gerados pelo
procedimento para o cenário numérico [100,500]×[0,300].
Figure 1. Space of feasibility of economically reliable agricultural
production and trajectory of points generated by the procedure for
the numerical scenario [100,500]×[0,300].
A Tabela 3 apresenta os resultados obtidos na caixa
bidimensional [100,400]×[100,300].
Tabela 3. Função de produção Cobb-Douglas e função custos dos
insumos lâmina de água e dose de nitrogênio, na solução viável
(𝑤∗,𝑛∗) = (371,84;233,54), com 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
Table 3. Cobb-Douglas production function and input costs
function water depth and nitrogen dose, in the viable solution
(𝑤∗,𝑛∗) = (371,84;233,54), with 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
CULTURAS
y
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑘𝑔
.
ℎ
𝑎
)
ℎ
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
𝜌
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
Aveia
(
𝑖
=
1
)
258,87
689,43 750
Melão
(
𝑖
=
2
)
284,10 593,96 650
Alface
(
𝑖
=
3
)
311,80 637,10 750
Cebola
(
𝑖
=
4
)
342,20 289,54 350
É possível observar que a solução viável
(371,84; 233,54)∈[100,400]×[100,300]. Também
para todo 𝑖 ∈ 𝐼, y(371,84; 233,54)≥ 𝑦 e
ℎ(371,84; 233,54)≤ 𝜌; isto é, todas as desigualdades que
compõem o espaço da viabilidade de produção agrícola
economicamente confiável são satisfeitas. Novamente a
maior produtividade neste cenário é alcançada na cultura
Cebola com 342,20 𝑘𝑔.ℎ𝑎, porém menor que a alcançada
no cenário da Tabela 2. Também a menor produtividade é
alcançada na cultura Aveia com 258,87 𝑘𝑔.ℎ𝑎, nada
distante da alcançada na Tabela 2 de 254,62 𝑘𝑔.ℎ𝑎. Note
que as produções alcançadas na Tabela 3 para Melão e Alface,
são menores que as alcançadas na Tabela 2. A Figura 2 mostra
a trajetória de pontos gerados iterativamente pelo
procedimento, convergindo ao ponto (371,84; 233,54).
A Tabela 4 apresenta os resultados obtidos na caixa
bidimensional [100,600]×[100,300].
Neste cenário também temos que a solução viável
encontrada pelo procedimento (519,30; 220,48) ∈
[100,600]×[100,300], mais uma vez:
y(519,30; 220,48)≥ 𝑦 e ℎ(519,30; 230,48)≤
𝜌. Como nos cenários anteriores (Tabelas 2 e 3), a cultura da
Cebola alcança a maior produtividade 441,91 𝑘𝑔.ℎ𝑎,
sendo essa produtividade maior que as produções alcançadas
nos cenários anteriores. Porém, neste cenário (Tabela 4) tem-
se maior quantidade de água e a contribuição da lâmina de
água na função de produção Cobb-Douglas é da ordem de
80%. Em relação à menor produtividade alcançada neste
cenário, novamente resulta ser a Aveia com 264,30 𝑘𝑔.ℎ𝑎,
mas note que entre os menores valores de produtividade
alcançados nos cenários anteriores este é maior, o que torna
razoável e considerando que neste cenário se tem mais água.
Note que as produções alcançadas na Tabela 4 para Melão e
Alface, são menores que as alcançadas na Tabela 3. A Figura
3 mostra a trajetória de pontos gerados iterativamente pelo
procedimento, convergindo ao ponto (519,30; 220,48).
Figura 2. Espaço da viabilidade de produção agrícola
economicamente confiável e trajetória de pontos gerados pelo
procedimento para o cenário numérico [100,400]×[100,300].
Figure 2. Space of feasibility of economically reliable agricultural
production and trajectory of points generated by the procedure for
the numerical [100,400]×[100,300].
Figura 3. Espaço da viabilidade de produção agrícola
economicamente confiável e trajetória de pontos gerados pelo
procedimento para o cenário numérico [100,600]×[100,300].
Figure 3. Space of feasibility of economically reliable agricultural
production and trajectory of points generated by the procedure for
the numerical scenario [100,600]×[100,300].
Delgado & Ventura
Nativa, Sinop, v. 10, n. 3, p. 307-311, 2022.
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Tabela 4. Função de produção Cobb-Douglas e função custos dos
insumos lâmina de água e dose de nitrogênio, na solução viável
(𝑤∗,𝑛∗) = (519,30;220,48), com 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
Table 4. Cobb-Douglas production function and input costs
function water depth and nitrogen dose, in the viable solution
(𝑤∗,𝑛∗) = (519,30; 220,48), with 𝑦=250 𝑘𝑔.ℎ𝑎.
CULTURAS
y
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑘𝑔
.
ℎ
𝑎
)
ℎ
(
𝑤
∗
,
𝑛
∗
)
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
𝜌
(
𝑅
$
.
ℎ
𝑎
)
Aveia
(
𝑖
=
1
)
264,30 691,27 800
Melão
(
𝑖
=
2
)
313,70
583,31 700
Alface
(
𝑖
=
3
)
372,32 643,55 750
Cebola
(
𝑖
=
4
)
441,91 277,56 350
4. DISCUSSÕES
É bom destacar que nos três ensaios numéricos
realizados, os resultados obtidos satisfazem todas as
restrições lineares e não lineares que definem um espaço de
viabilidade de produção agrícola economicamente confiável,
para um conjunto de culturas dado.
Finalmente em relação à função custo de insumos avaliada
na solução viável determinada pelo procedimento
ℎ(𝑤∗,𝑛∗), podemos observar para a cultura Aveia com 𝜌=
𝑅$ 750, que no segundo cenário (Tabela 3) se tem 𝑅$ 21,61
a mais de gasto que no primeiro cenário (Tabela 2). Isso deve-
se ao fato que a dose de nitrogênio tem maior custo que a
lâmina de água, que no segundo cenário tem-se um maior
consumo de nitrogênio, e que a contribuição do nitrogênio
neste caso é da ordem de 80%. Já em relação à Cebola com
𝜌= 𝑅$ 750, no terceiro cenário (Tabelas 4) se observa uma
pequena queda de gastos em relação ao segundo cenário
(Tabela 3) de 𝑅$ 11,98. Isso se justifica ao considerar que no
terceiro cenário a variável dose de nitrogênio na solução
viável encontrada é menor que a determinada no segundo
cenário (Tabela 3), e que para esta cultura estamos
considerando um 80% de contribuição da lâmina de água e
20% da dose de nitrogênio.
Comparando as informações de produtividade
obtidas nos três cenários e culturas consideradas, pode-se
observar que o cenário mais promissório é o terceiro
[100,600]×[100,300]. Neste cenário tem-se o maior
limitante superior da lâmina de água (600𝑚𝑚) e maior
limitante inferior da dose de nitrogênio (100 𝑘𝑔). Já em
relação aos custos dos insumos (lâmina de água e dose de
nitrogênio), observasse um escalada levemente crescente,
salvo nas culturas Melão e Alface. Finalmente é importante
destacar que não foi possível comparar os resultados obtidos
com resultados da literatura por dois motivos, primeiro que
o problema aqui apresentado é um problema de viabilidade e
não de otimização e em segundo lugar, por ser a primeira vez
que o problema de viabilidade agrícola economicamente
confiável é modelado matematicamente através de um
conjunto de desigualdades não-linear e o conceito de centro
analítico.
5. CONCLUSÕES
Apresentou-se um procedimento computacional que
determina se existe ou não um vetor de insumos limitados
lâmina de água e dose de nitrogênio, que permita alcançar
determinados níveis de produção pré-fixados, sem exceder
determinado capital de gastos disponíveis em insumos.
Em cada cenário (ou caixa bidimensional)
experimentado, foi possível visualizar através dos resultados
obtidos, que a função de Cobb-Douglas utilizada, responde a
uma produção com retornos constantes à escala.
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